• Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar dos triángulos que tengan la misma superficie.
• Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar dos triángulos escalenos que la superficie de uno sea doble que la del otro.
• Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar dos triángulos escálenos que la superficie de uno sea triple que la del otro (el pequeño es un triángulo escaleno rectángulo).
• Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar tres triángulos (A, B y C) de manera que la superficie de C sea triple y la de B sea doble que la de A.
• Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar tres polígonos de manera que tengan la misma superficie.
• Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar cuatro polígonos de manera que tengan la misma superficie.
• Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar seis polígonos de manera que tengan la misma superficie.
• Si la superficie del cuadrado es de 144 unidades cuadradas, haz las siguientes composiciones:
  - Reparte las 14 piezas del puzzle para formar tres polígonos de manera que sus superficies sean tres números múltiplos de 12.
  - Reparte las 14 piezas del puzzle para formar cinco triángulos de manera que sus superficies sean cinco números múltiplos de 6.
• Reparte las 14 piezas del puzzle para formar dos cuadrados iguales  y un pentágono cóncavo.

• Divida el mazo en dos montones de aproximadamente la misma cantidad de cartas (no es necesario que sean exactamente la misma cantidad).
• Elija uno de los dos montones y cuente de forma secreta el número de cartas de ese montón.

A continuación sume las dos cifras del número de cartas y retire del montón elegido tantas cartas como indique esa suma, colocándolas sobre el otro montón.

• Después, tome la primera carta del montón que tiene en la mano y la mire para recordarla más tarde.
• Coloque la carta que ha visto sobre el mazo de la mesa y encima de todo el montón que aún le queda en la mano.
• Por último entregue el mazo al mago que enseguida descubre cual era la carta que el espectador había mirado.

El truco se vuelve a basar en la divisibilidad de 9. Como en cada montón hay alrededor de 25 cartas, si le quitamos tantas como la suma de las cifras, nos queda el anterior múltiplo de 9. Es decir, al acabar el paso c siempre nos quedará en la mano un total de 18 cartas. Por lo que cuando le entreguen el mazo basta que cuente hasta la carta 18 para hallar la carta buscada.

También se puede completar el truco escribiendo una frase que tenga 18 letras como por ejemplo “El gran Mago Santonji” y pedirle al espectador o a otra persona que deletree la frase mientras va apartando cartas del mazo. La última carta quitada será la buscada.

EL JUEGO DE LA “L”

El resultado fue el juego de la “L”, que a continuación se describe:

Normas del juego de la “L”:

Es un juego de estrategia y reflexión, para dos jugadores, a partir de los siete años.

Elementos que lo componen:

Un tablero de 4 x 4 cuadrados, dos piezas en forma de ele de diferente color (cada una de las cuales cubre una superficie de cuatro cuadrados), y dos fichas redondas de igual color, que se denominan fichas neutras. La posición de inicio es la que aparece en la figura 1

Figura 1

El objetivo del juego es inmovilizar la ele del contrario. Por ejemplo, en la figura 2 el jugador con la “L” gris está bloqueado y pierde la partida.

Una vez que cada jugador elige una pieza “ele” de diferente color y se asigna el orden de comienzo cada jugador puede realizar en cada turno dos movimientos:

1º Mover su pieza “L” a cualquiera de las posiciones no ocupadas del tablero. Su nueva posición tiene que diferir de la anterior por lo menos en un cuadrado.
La pieza “L” se puede girar antes de colocarla en el tablero. No se permiten pruebas sobre el tablero ni rectificaciones.
2º Después de colocar la pieza “L”, el mismo jugador si lo desea, pude mover una sola de las piezas neutras a cualquier cuadro vacío.

El juego finaliza cuando uno de los dos jugadores no puede hacer un movimiento reglamentario.
Se puede llegar a empate por acuerdo o cuando cada jugador repite el mismo movimiento tres veces seguidas (como en el ajedrez).

Es sorprendente que con tan pocos elementos y en un tablero relativamente pequeño el número de posiciones distintas se eleve a 18368. Si consideramos idénticas las posiciones simétricas y las que son equivalentes por rotación del tablero, nos quedan 2296 posiciones realmente diferentes. Sólo quince de ellas son posiciones ganadoras para uno de los jugadores. A continuación se muestran algunas de las que existen, correspondientes a la “L” negra ganadora con tres cuadrados horizontales (se deja para el lector buscar las posiciones que faltan).

Se tata de un juego de aprendizaje rápido que potencia la percepción visual y la orientación espacial.

Favorece la búsqueda de estrategias de resolución de problemas y el razonamiento concreto.

Como ejemplos de actividades al margen del uso del juego como tal se pueden proponer:

a) Diseñar la partida más corta posible (contando con la inexperiencia de alguno de los jugadores)

En la siguiente partida el jugador de la pieza gris realiza un comienzo tan malo que en el primer movimiento del negro queda inmovilizado y pierde.

b) Buscar partidas que terminen al 2º movimiento del 1º jugador, al 2º del 2º, etc. o que tengan una duración de movimientos determinada.

c) Problemas de selección de mejor jugada, del tipo “negra mueve y gana”.

Finalmente, planteamos una serie de propuestas para investigar en el aula:

En lugar de usar una “L” formada por cuatro cuadrados se puede utilizar otro tipo de letra , como la “T” formada por 5 cuadrados, en un tablero de 5 ? 5, y usando dos, tres o más fichas neutras. Si se ve que es difícil realizar bloqueos, se puede aumentar el número de fichas neutras o variar el tamaño del tablero. También se puede pasar a un juego de tres o más jugadores usando tres o más “L” o tres o más “T” ajustando las fichas neutrales necesarias y el tamaño del tablero.
Lo dicho antes para la “L” y la “T” se puede aplicar a otras configuraciones, como la “H”, compuesta de 7 cuadrados, la “C” compuesta de 5 cuadrados, etc... e incluso se podría diseñar un juego tridimensional, donde las fichas neutrales serían columnas que imponen restricciones a los movimientos y las fichas cuatro cubos pegados en forma de "L".

ROMPECABEZAS DE AVIONES

Los rompecabezas más conocidos actualmente son los de piezas que hay que encajar para reproducir una imagen; en ellos la dificultad estriba en el número de piezas que lo componen y la propia imagen con tonos parecidos y piezas casi iguales.

Los rompecabezas matemáticos juegan también con las múltiples formas de colocar las fichas y a veces, además de con la forma, con el color. Son menos conocidos pero muy frecuentes, desde principios de siglo, en el mundo publicitario
Planos o tridimensionales suelen ser fáciles de construir en madera o cartón y siguen siendo muy interesantes como juego didáctico.

Comenzamos con cuadrados y colores.
Construye fichas cuadradas de igual superficie, dividelas en cuatro partes iguales y cada una píntala de un color distinto ( necesitas cuatro colores ). Puedes escoger una de estas divisiones:

1.- ¿ Cuántas fichas distintas podemos construir ?

2.- Si las colocamos una junto a otra siguiendo la regla: “lados adyacentes, colores iguales”, ¿cuántas disposiciones distintas son posibles?

3.- ¿ Y cuántas fichas y cuáles tenemos que repetir para construir un cuadrado de 3x3 fichas en el que los lados adyacentes tengan los mismos colores ?

Basandose en la idea anterior os presentamos un rompecabezas que regalaban las lineas aéreas suizas “Swissair” en sus vuelos.

Consta de 9 fichas cuadradas que tienen dibujadas: dos cabezas y dos colas de avión, dispuestas en todas las fichas de la misma manera. La diferencia de las piezas está en el color de cada elemento. Utiliza cuatro colores.

El juego consiste en disponer las nueve fichas formando un tablero de 3x3, de manera que los aviones interiores estén bien formados y tengan sus dos partes, cabeza y cola, del mismo color.

 

Para empezar aquí tienes dos soluciones distintas con un pequeño problema: se nos han borrado los colores.

Coge las fichas, juega y encontrarás las soluciones que te damos y seguro que otras muchas

CUBO DE MUÑOZ

Muchos son los juegos con los que nos entretenemos en  nuestra infancia y que conservan su atracción e interés a medida que nos hacemos mayores. En algunas personas se convierten en un verdadero hobby, como vemos en el caso de los puzzles. Algunos de esos puzzles para adultos que se encuentran en cualquier tienda de juegos, tienen aplicación didáctica en Matemáticas, sobre todo en el apartado correspondiente a la geometría. Los más corrientes son, en el aspecto plano el Tangram Chino y los Pentominós, y en la parte espacial los Policubos, que permiten construir un cubo, siendo sin duda el más conocido el Cubo Soma.

Todos estos puzzles espaciales están formados por piezas construidas cada una de ellas a partir de varios cubitos (en total constan de 27); piezas que al unirse  permiten obtener un cubo de lado triple al de los cubitos que las forman.

 

 El Cubo Soma, formado por los seis tetracubos menos regulares (es decir, todos menos el 2x2x1 y el 4x1x1) y el tricubo no lineal, es el más conocido por encontrarse en los comercios con facilidad (no sabemos si los demás están comercializados) y porque además hay una gran colección de figuras que se pueden construir con él, desde formas geométricas, hasta figuras de animales, muebles, arquitecturas, etc. Sin embargo, existen muchas otras disecciones del cubo que se pueden encontrar, bien en los libros (Corbalán, 1994) o a través de Internet. Entre ellos podemos encontrar aquellos cuyas piezas tienen varias alturas, pues se sitúan en más de un plano de los tres superpuestos que forman el cubo, como les ocurre a los cubos de Media-Hora, Lesk, Steinhaus o Nob; por otro lado hay policubos en los que todas sus piezas son planas, entre los que quizás el más conocido sea el de O'Berine que está formado por nueve piezas iguales al tricubo en ángulo, o el Cubo Diabólico que es progresivo, es decir, sus piezas tienen todas distinto número de cubos, desde dos hasta siete.

 

Nosotros comenzamos a diseñar particiones del cubo a partir del uso en clase del Cubo Soma. Uno de nuestros alumnos pretendía construir con las piezas del Soma una plancha rectangular, algo que evidentemente es imposible, pues varias de sus piezas tienen más de una altura. Con el fin de satisfacer las ansias de ese alumno, se diseñó el que llamamos Cubo de Hans formado por un tricubo, dos tetracubos, dos pentacubos y un hexacubo (Fernández-Aliseda y otros, 2000) que aparte de la plancha rectangular de 3x9x1 y del cubo de lado 3, permite construir muchas otras figuras. Este cubo se encuentra, además, comercializado por la S.A .E.M. Thales dentro de la serie de materiales que ha comenzado a producir.

Para incluir en estas páginas un ejemplo de división del cubo no conocida, hemos seleccionado el Cubo de Muñoz. Los que conozcan los materiales de los que hemos hablado al principio, sabrán que si los doce pentominós se construyen con cubos, se obtienen los doce pentacubos planos con los que se pueden construir varios poliedros. Basados en esa idea, elegimos los policubos planos con menos de cinco cubitos, y así este cubo está formado por el dicubo, los dos tricubos y los cuatro tetracubos planos que pueden formar parte del cubo de lado 3 (es decir, sin los cuatro cubos puestos en línea). Como se necesitaban tres cubitos más para formar el cubo grande, se repite la pieza correspondiente al tricubo en ángulo. Las piezas son por tanto las siguientes:

Esta sencilla disección permite varias soluciones diferentes para el cubo 3x3x3, y construir muchas figuras distintas y fáciles, entre ellas hemos seleccionado las siguientes, algunas que se pueden construir también con el Soma y otras nuevas.

 

Lo interesante de este tipo de material es no tanto trabajar con cubos conocidos, como que sean los propios alumnos quienes diseñen sus propias disecciones. Es apropiado proponerlo como proyecto de trabajo con las siguientes partes:

• Fase de diseño. En primer lugar los alumnos crearían sus propios policubos. Desde el punto de vista de la motivación esto es primordial pues están trabajando con algo que han creado ellos mismos y además no pueden copiarse unos de otros. Se pueden imponer las restricciones que se quieran a la hora de diseñar las disecciones del cubo: que las piezas sean planas o no (no es aconsejable que una pieza tenga cubos en las tres alturas posibles pues aunque simplifica el reconstruir el cubo dificulta el apartado 3 del proyecto); que no haya piezas con menos de tres cubos; que el número total de piezas sea cinco o seis; etc. Aspectos interesantes en esta fase son el dibujar a escala las piezas y la elección de una notación clara para reconstruir el cubo, algo que no es nada trivial.

• Fase de construcción. A la hora de construirlo se pueden hacer las piezas con bloques multilink, pero muestra experiencia nos aconseja utilizar cubitos de madera (que se pueden comprar a granel en alguna carpintería, especialmente si el carpintero es amigo o padre de algún alumno) que uniéndolos con cola blanca quedan perfectamente (y mucho más presentables y duraderos si después se pintan y barnizan).

• Fase de manipulación. En la que los alumnos, además de reconstruir el cubo de lado 3, inventan y dibujan a escala figuras -y sus soluciones- con el cubo que han construido. En esta fase influye mucho la disección que se haya escogido.

• Fase de juego. Los alumnos se intercambian los cubos y han de conseguir en primer lugar el cubo 3x3x3 y luego las figuras propuestas por sus compañeros.
• Fase de trabajo matemático. Una vez familiarizados con las distintas disecciones del cubo se pueden realizar actividades matemáticas como las siguientes:

¿Cuántos monocubos, dicubos, tricubos, tetracubos,… distintos hay?

• Tomando como unidad la del lado de los cubitos base, calcular el área y el volumen de cada uno de los policubos que forman el cubo elaborado por el alumno.
• Tomando como unidad el cubo 3x3x3, ¿qué fracción del total representan cada uno de los policubos?
• … Y muchas otras cuyo desarrollo excede del espacio de esta sección sobre juegos y que merecen un tratamiento específico.

Este proyecto puede plantearse como una actividad interdisciplinar entre las áreas de Educación Plástica y Visual, Tecnología y Matemáticas.

Existen actividades a mitad de camino entre utilizar una disección ya existente y crear una nueva, por ejemplo utilizar los pentacubos planos que antes hemos comentado que permitían construir poliedros. Se le da a los alumnos un dicubo y los doce pentacubos, y han de elegir cinco piezas para que junto al dicubo puedan formar un cubo de lado tres. Para ello primero tienen que descartar los que no pueden entrar a formar parte de ese cubo y después seleccionar, entre los que quedan, las piezas que son encajables.

JUEGOS DE LÁPIZ Y PAPEL

Cinco en línea

Es un juego muy antiguo que se llama también las cinco estacas o los cinco botines. En China se le conoce con el nombre de Go-moku.

En Japón se le llama Go-bang, pues se juega sobre el go-ban, o tablero del Go (un damero de 18x18 con 200 fichas cada jugador). Este juego también es conocido como Pente y puede ser jugado con fichas (o piedrecillas de cristal) sobre un tablero cuadriculado. Se juega sobre papel cuadriculado donde se marca el terreno de juego trazando un cuadrado de 19x19 líneas, aunque no importa si es de 15x15 o de 13x13.

Reglas de juego:

• Cada jugador escoge un símbolo identificativo para jugar (por ejemplo uno juega con “x” y otro con “o”).

• El turno de comienzo se hace a suerte.

• Cada jugador, en su turno, dibuja su símbolo en una de las intersecciones del tablero (o bien en uno de los cuadros si se toma ese acuerdo).

• Gana el jugador que primero consigue alinear horizontal, vertical o diagonalmente cinco marcas propias.

BRIDG-IT

El Bridg-it fue inventado por un profesor de la Brown University (EE.UU.), David Gale, a finales de los años 50.

Es un juego de lápiz y papel para dos personas que deben jugar con sendos bolígrafos de distintos colores, construyendo inicialmente el "tablero" a base de igual cantidad de puntos de cada color y dispuestos de igual forma a como se ve en la figura (los círculos huecos serían de un color y los llenos de otro).

Reglas de juego:

• Se sortea el orden de juego. A continuación se van alternando los movimientos de los jugadores.
• Cada jugada consiste en unir con un trazo cualquier par de puntos, del color correspondiente al jugador, que sean adyacentes horizontal o verticalmente, pero no en diagonal.
• No está permitido cruzar un trazo ya dibujado en el tablero.
• El juego finaliza cuando uno de los jugadores consiga construir un camino que una dos lados opuestos del tablero a base de trazos de su color, proclamándose ganador de la partida.

Como ejemplo presentamos una partida en la que gana el jugador que ha dibujado los trazos continuos.

EL SIM

Sobre el papel se dibujan puntos colocados de manera que sean vértices de un polígono (por ejemplo seis puntos para formar un hexágono). La cantidad de puntos condiciona la duración de la partida.

Reglas de juego:

• Se sortea el orden de salida.
• Cada jugador juega con un lápiz de un color distinto y traza segmentos que unan dos puntos cualesquiera del tablero.
• No se puede trazar un segmento sobre otro ya trazado.

• Pierde el jugador que al trazar el segmento correspondiente a su turno forma un triángulo con tres lados del mismo color.

SENDEROS

Se juega sobre una retícula dibujada en el papel. La cantidad de puntos depende de la duración que se quiera dar al juego.

Reglas de juego:

• Se sortea el orden de salida.
• El primer jugador traza, donde quiera, un segmento que una dos puntos consecutivos del tablero en horizontal o en vertical, pero nunca en diagonal.
• El otro jugador, y a partir de él cada uno en turno, dibuja un segmento que una dos puntos consecutivos del tablero en horizontal o en vertical, pero no en diagonal. Los segmentos se han de trazar a partir de uno de los dos extremos del camino ya dibujado.

Pierde la partida el jugador que al trazar su segmento cierra el camino.

ROMPECABEZAS DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

PUZZLES DE PITÁGORAS

Los siguientes juegos se basan en este conocido teorema. La forma de presentarlos es como un puzzle en el que partiendo de un triángulo rectángulo y al montar las piezas se puede formar por un lado el cuadrado sobre la hipotenusa, y con las mismas piezas se construyen por otro los cuadrados sobre los catetos.

Estos rompecabezas se pueden usar en primaria como simples juegos para trabajar equivalencias de superficies, y en secundaria como complemento a las comprobaciones numéricas y demostraciones algebraicas.

Tal vez la disección más conocida es la atribuida a Henry Perigal (1801-1898), corredor de bolsa londinense y astrónomo, y que se encuentra grabada en piedra en la lápida de su tumba en Essex. En ella se divide en cuatro partes el cuadrado construido sobre el cateto mayor a partir de su centro (que se puede hallar por intersección de las diagonales), trazando posteriormente por él una paralela y una perpendicular a la hipotenusa del triángulo.

 

Otra demostración fácil de realizar utiliza las siete piezas del Tangram Chino. En este caso el triángulo sobre el que se trabaja no es un triángulo rectángulo cualquiera sino rectángulo e isósceles, y coincide con uno de los triángulos mayores del tangram.

Posiblemente el puzzle más simple en su construcción se basa en la demostración realizada por el matemático y astrónomo hindú Bhaskara Akaria (1114-1185), autor del libro Lilavati dedicado a problemas aritméticos, geométricos y combinatorios. En él uno de los catetos ha de ser doble que el otro.

Hace unos años la Junta de Andalucía presentó la siguiente división como divulgación de la bandera de nuestra comunidad, ya que si el cuadrado sobre el cateto grande se dibuja de verde y el del pequeño de blanco, al montar el cuadrado sobre la hipotenusa aparece en diagonal la bandera de la comunidad andaluza (verde-blanco-verde).

Por último presentamos otra demostración mediante rompecabezas del Teorema de Pitágoras que puede ser utilizada para demostrar asimismo el Teorema de los Catetos ya que el cuadrado sobre la hipotenusa queda dividido en dos rectángulos cuyas áreas son respectivamente el producto de la hipotenusa por la proyección de cada cateto sobre ella.

A continuación se acompañan las piezas necesarias para montar cada uno de los puzzles comentados (salvo el tangram chino) que pueden ser copiadas en cartulina y recortadas para jugar.

Demostración de Perigal	Demostración de Bhaskara
Bandera andaluza	Teorema de los catetos